Классическое определение вероятности сводит понятие вероятности к понятию равновероятности (равновозможности) событий, которое считается основным и не подлежит формальному определению. Это определение применимо в случаях, когда удается выделить полную группу несовместных и равновероятных событий - элементарных исходов. Для примера рассмотрим урну с шарами. Пусть в урне содержится 7 одинаковых, тщательно перемешанных шаров, причем 2 из них - красных, 1 - синий и 4 - белые. Испытание будет заключаться в том, что из урны наудачу берется один шар. Каждое событие, которое может наступить в проводимом испытании, является элементарным исходом. В данном примере семь элементарных исходов, которые мы обозначим Е1, Е2,..., Е7. Исходы Е1, Е2 - появление красного шара, Е3 - появление синего шара, Е4, Е5, Е6, Е7 - появление белого шара. В нашем примере события Е1, Е2,... Е7 - попарно несовместны. Кроме того, они еще и равновозможны в данном испытании. Пусть событие А заключается в том, что наудачу взятый из урны шар оказался цветным (красным или синим). Те элементарные исходы, при которых интересующее нас событие А наступает, называют исходами, благоприятствующими событию А. В нашем примере исходами, благоприятствующими событию А, являются исходы Е1, Е2 и Е3. Разумно в качестве меры возможности появления события А, то есть вероятности Р(А), принять число, равное отношению исходов, благоприятствующих наступлению события А, к числу всех возможных исходов. В нашем примере Р (А) = . Рассмотренный пример привел нас к определению вероятности, которое принято называть классическим. Вероятностью событияА называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех элементарных исходов: Р (А) = . (1.4.4) Классическое определение вероятности служит хорошей математической моделью тех случайных экспериментов, число исходов которых конечно, а сами исходы - равновозможны. ПРИМЕР 2. Бросается игральная кость. Найти вероятность того, что выпадет не более четырех очков.
Решение. Общее число элементарных исходов n = 6 (могут выпасть 1, 2, 3, 4, 5, 6). Среди этих исходов благоприятствуют событию А (выпадет не более четырех очков) только четыре исхода m = 4. Следовательно искомая вероятность Р (А) = . ПРИМЕР 3. Какова вероятность, заполняя карточку спортлото «6» из «49» угадать 4 номера?
Решение. Общее число элементарных исходов опыта равно числу способов, которыми можно зачеркнуть 6 номеров из 49, то есть n = C . Найдем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию А = {угадано 4 номера}, 4 номера из 6 выигрывших можно зачеркнуть C способами, при этом остальные два номера должны быть не выигрышими. Зачеркнуть 2 неправильных номера из 43 невыигрышных можно C способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов m = C ×C . Принимая во внимание, что все исходы опыта являются несовместными и равновозможными, находим искомую вероятность по формуле классической вероятности: Р (А) =  ПРИМЕР 4. Наудачу взятый телефонный номер состоит из 5 цифр. Как велика вероятность, что в нем: 1) все цифры различные; 2) все цифры нечетные?
Решение. 1. Так как на каждом из пяти мест в пятизначном номере может стоять любая из цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, то всех различных пятизначных номеров будет 105 (00000 - 1-й, 00001 - 2-й, 00002 -3-й, ... , 99998 - 99999-й, и, наконец, 99999 - 100 000 -й). Номера, у которых все цифры различные, - это размещения из 10 элементов по 5. Формула для числа размещенийиз n элементов по k: = k ! = = n (n - 1) ... (n - k + 1).
Поэтому число благоприятствующих случаев m = = 10× 9× 8× 7× 6 и искомая вероятность Р (А) = = 0,3024. 2. Из 5 нечетных цифр (1, 3, 5, 7, 9) можно образовать 55 различных пятизначных номеров. 55 - это число благоприятных исходов m. Так как всех равновозможных случаев n= 105, то искомая вероятность Р (А) = = = = 0,03125. ПРИМЕР 5. Полная колода карт (52 листа) делится наугад на две равные пачки по 26 листов. Найти вероятности следующих событий:
А - в каждой из пачек окажется по два туза; В - в одной из пачек не будет ни одного туза, а в другой - все четыре; С - в одной из пачек будет один туз, а в другой - три. Решение. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 26 карт из 52 , то есть числу сочетаний из 52 по 26, n = . Число благоприятных событию А случаев m = (по основному правилу комбинаторики), где первый сомножитель показывает, что два туза из четырех можно взять способами, второй сомножитель показывает, что остальные 24 карты берутся из 48 карт, не содержащих тузов, способами. Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу всех исходов: P (A) = . Событие В может осуществиться двумя равновозможными способами: либо в первой пачке будут все четыре туза, а во второй - ни одного, либо наоборот: Р (B) = . Аналогично: Р(C) = . Заметим, что классическое определение вероятности было введено для случая, когда пространство элементарных событий конечно, а все исходы и испытания равновозможны и несовместны. |