Электронное хранилище учебных материалов

Методические указания по решению задач, модуль 5


Загрузить всю книгу  Книга в формате Adobe PDF 

« Пред.

Примеры решения задач

След. »

 

Пример №1. Определить силу токов, текущих в ветвях, если e1 = 1 В, e2 = 2 В, e3 = 3 В, r1 = 1 Ом, r2 = 0,5 Ом, r3 =  Ом, R4 = 1 Ом, R5 =  Ом.

Дано:

Решение:

e1 = 1 В

e2 = 2 В

e3 = 3 В

r1 = 1 Ом

r2 = 0,5 Ом

r3 =  Ом

R4 = 1 Ом

R5 =  Ом

I1 - ?; I2 - ?; I3 - ?

Физическая система – электрическая цепь, в которой имеется несколько различных источников тока. Найти результирующую ЭДС невозможно и, следовательно, нельзя применить закон Ома для замкнутой цепи. В этом случае электрическая цепь может быть рассчитана с помощью правил Кирхгофа.

  1. Сначала необходимо выбрать (произвольно) направления тока в ветвях (см. рис.). Если направление выбрано неверно, то в окончательном решении величина этого тока получиться отрицательной, а если верно – то положительной.
  2. Применим первое правило Кирхгофа. Оно справедливо для узлов электрической цепи. В данной схеме узлов два: т. А и т. С.

Для узла А:

 

.

(1)

Для узла С первое правило Кирхгофа ничего нового не дает. Применим второе правило Кирхгофа, оно справедливо только для замкнутых контуров. В данной схеме их три: АВСА, ACDA, ABCDA.

Рассмотрим контур ABCA: e1 и e2; r1, r2, R4; I1 и I2.

Для применения второго правила Кирхгофа необходимо выбрать (произвольно) условно-положительное направление обхода контура. Оно необходимо для определения знаков ЭДС и токов. Если направление ЭДС или тока совпадают с направлением обхода контура, то их считают положительными. В противном случае ЭДС или ток считают отрицательными. Следовательно: (если выбрать направление обхода против часовой стрелки)

 

.

(2)

Для контура ACDA: (направление обхода против часовой стрелки):

 

.

(3)

Система уравнений (1 – 3) являются замкнутой, решая эту систему находим:

; ; .

Токи I1 и I2 получились отрицательными, это значит, что направления их случайно были выбраны ошибочно. Ток I3 положителен, следовательно, его направление выбрано правильно.

Ответ:; ; .

 

Пример №2. В схеме представленной на рисунке e1 = 2,1 В, e2 = 1,9 В, R1 = 45 Ом, R2 = 10 Ом, R3 = 10 Ом. Найти силу тока во всех участках цепи. Внутренним сопротивлением элементов пренебречь.

 

Дано:

Решение:

e1 = 2,1 В

e2 = 1,9 В

R1 = 45 Ом

R2 = 10 Ом

R3 = 10 Ом

Применим правила Кирхгофа для данной разветвленной цепи. Наметим направления токов стрелками на схеме.

Для узла С: .

Для Узла А получим тождественное уравнение.

Для контура АВС по второму правилу Кирхгофа: .

Для контура ACD: .

I1 - ?; I2 - ?; I3 - ?

(Вместо контура ACD или АВС можно было бы взять контур ABCD)

Имеем три уравнения с тремя неизвестными, т.е. система разрешима:

 Þ решая эту систему, получим: I1 = 0,04 А; I2 = -0,01 А; I3 = 0,03 А.

Отрицательный знак у тока I2 указывает на то, что направление было выбрано неверно. Направление тока I2 в действительности будет идти от D к C, а не наоборот, как это было принято перед составлением уравнений.

Ответ:I1 = 0,04 А; I2 = -0,01 А; I3 = 0,03 А.

 

Пример №3. Три источника тока с ЭДС e1 = 11 В, e2 = 4 В и e3 = 6 В и три реостата с сопротивлениями R1 = 5 Ом, R2 = 10 Ом, R3 = 20 Ом соединены как показано на схеме. Определить силы токов I в реостатах. Внутреннее сопротивление источника пренебрежимо мало.

 

Дано:

Решение:

e1 = 11 В

e2 = 4 В

e3 = 6 В

R1 = 5 Ом

R2 = 10 Ом

R3 = 20 Ом

Воспользуемся правилами Кирхгофа. Выберем произвольные направления токов. И направление обхода контуров по часовой стрелке.

Составим систему уравнений:

; .

I1 - ?; I2 - ?; I3 - ?

; ; .

.

.

Приравняем: ;

 «–» – направление тока

;

.

Ответ:; ; .

 

Пример №4. Источники тока электродвижущими силами e1 и e2 включены в цепь, как показано на схеме. Определить силы токов текущих в сопротивлениях R2 и R3, если e1 = 10 В, e2 = 4 В, а R1 = R4 = 2 Ом и R2 = R3 = 4 Ом. Сопротивлениями источников пренебречь.

 

Дано:

Решение:

e1 = 10 В

e2 = 4 В

R1 = R4 = 2 Ом

R2 = R3 = 4 Ом

Выберем направление обхода токов, как показано на рисунке, и направление обхода контуров по часовой стрелке.

Схема имеет два узла А и В. Составлять уравнения по первому закону Кирхгофа следует только для одного узла, так как уравнение, составленное для второго узла, будет следствием первого уравнения.

I2 - ?; I3 - ?

 

 

.

(1)

Недостающие три уравнения получим по второму правилу Кирхгофа. Чтобы найти необходимое число независимых уравнений, следует придерживаться правила: выбирать контуры таким образом, чтобы в каждый новый входила бы одна ветвь, не участвовавшая ни в одном из ранее используемых контуров.

Соответственно для контуров: AR1BR2A; AR1BR3A; AR3BR4A имеем:

 

,

(2)

 

,

(3)

 

.

(4)

Подставив в формулы (2), (3), (4) численные значения R и e получим:

Поскольку нужно найти только 2 тока, то удобно воспользоваться методом определителей. С этой целью перепишем уравнения еще раз в следующем виде:

Искомые значения токов найдем из выражений:  и , где D – определитель системы уравнений.

DI2 и DI3 – определители, полученные заменой соответствующих столбцов определителя D столбцами, составленных из свободных членов четырех вышеприведенных уравнений:

;

;

.

Отсюда:

I2 = 0; I3 = -1A.

Знак «–» у значения I3, свидетельствует о том, что при произвольном выборе направлений токов, направление тока I3 было указано противоположно истинному.

Ответ:I2 = 0; I3 = –1A; ток I3 течет от узла В к узлу А.

 

Пример №5. На рисунке e1 = 10 В, e2 = 20 В, e3 = 40 В, а сопротивления R1=R2=R3=R=10 Ом. Определите силу токов, протекающих через сопротивления (I) и через источник ЭДС (I'). Внутреннее сопротивление источников ЭДС не учитывать.

Дано:

Решение:

e1 = 10 В

e2 = 20 В

e3 = 40 В

R1=R2=R3=R=10 Ом

Выберем направления токов.

;

I1, I2, I3 - ?

I1, I2, I3 - ?

I3× 10 = 20, I2× 10 = 30, I1× 10 + 3 × 10 = 40;

I3 = 2 A, I2 = 3 A, I1 = 1 A;

I3 = 3 A, I2 = 0, I1 = -2 A,

I1 направлен в сторону, противоположную первоначально выбранной.

Ответ: I1 = 1 A, I2 = 3 A, I3 = 2 A, I1 = –2 A, I2 = 0, I3 = 3 A.

 

Пример №6. Два источника тока ЭДС e1 = 2 В и e2 = 1,5 В и внутренними сопротивлениями r1 = 0,5 Ом и r2 = 0,4 Ом включены параллельны сопротивлению R = 2 Ом. Определите силу тока через это сопротивление.

 

Дано:

Решение:

e1 = 2В

e2 = 1,5 В

r1 = 0,5 Ом

r2 = 0,4 Ом

R = 2 Ом

,

,

,

.

I - ?

Ответ:I = 0,775 А.

 

Пример №7. На рисунке e = 2 В, R1 = 60 Ом, R2 = 40 Ом, R3 = R4 = 20 Ом и RG = 100 Ом. Определить силу тока IG через гальванометр.

 

Дано:

Решение:

e = 2 В

R1 = 60 Ом

R2 = 40 Ом

R3 = R4 = 20 Ом

RG = 100 Ом

IG - ?

®

 = 0,2 ®,  ®,

, ,

, , IG = –1,49 × 10-3A.

Ответ:IG = –1,49 мA, направлен в сторону, противоположную первоначально выбранной.

 

Пример №8. Определить силу токов, текущих в ветвях, если E1 = 1В, E2 = 2В, E3 = 3В, r1 = 1 Ом, r2 = 0,5 Ом, r3 = 1/3 Ом, R4 = 1 Ом, R5 = 1/3 Ом. (см. рис.).

 

Дано:

Анализ:

E1 = 1В,

E2 = 2В,

E3 = 3В,

r1 = 1 Ом,

r2 = 0,5 Ом,

r3 =  Ом,

R4 = 1 Ом,

R5 =  Ом

I1,I2, I3 = ?

Физическая система – электрическая цепь, в которой имеется несколько различных источников тока. Найти результирующую ЭДС невозможно, и, следовательно, нельзя применить закон Ома для замкнутой цепи. В этом случае электрическая цепь может быть рассчитана с помощью правил Кирхгофа.

Решение:

Сначала необходимо выбрать (произвольно) направления тока в ветвях. Выберем их так, как показано на рисунке. Если мы ошиблись в выборе направления какого-нибудь тока, то в окончательном решении величина этого тока получится отрицательной, если же случайно выбрано правильное направление тока, то его величина будет положительной.

Применим первое правило Кирхгофа. Оно справедливо для узлов электрической цепи. В данной схеме узлов два: точки А и С. Для узла А по первому правилу Кирхгофа получим:

I1 + I2 + I3 = 0.

Для узла С первое правило Кирхгофа ничего нового не дает. Применим второе правило Кирхгофа. Оно справедливо только для замкнутых контуров. В данной схеме их три: АВСА, АСDА, АВСDА. Рассмотрим контур АВСА. В этом контуре имеется две ЭДС (Е1 и Е2), три резистора (r1, r2, R4) и два тока (I1 и I2). Для применения второго правила Кирхгофа необходимо выбрать (произвольно) условно-положительное направление обхода контура. Оно необходимо для определения знаков ЭДС и токов. Если направления ЭДС или тока совпадают с направлением обхода контура, то их считают положительными. В противном случае ЭДС или ток считают отрицательными.

Выберем за положительное направление обхода контура АВСА направление против часовой стрелки; ЭДС Е1 направлена против часовой стрелки следовательно, ее считаем положительной; ЭДС Е2 направлена по часовой стрелке (т.е. против направления обхода контура); следовательно, она войдет в уравнение второго правила Кирхгофа со знаком минус. Ток I1 проходит через резисторы r1 и R4, и его направление совпадает с направлением обхода контура. Ток I2 проходит через резистор r2 и направлен против направления обхода. Следовательно, ток I1 положителен, ток I2 отрицателен. По второму правилу Кирхгофа для контура АВСА получаем:

 

.

(1)

Если выбрать за положительное направление обхода этого контура направление по часовой стрелке, то по второму правилу Кирхгофа найдем:

.

Получено уравнение (1), умноженное на (–1). Очевидно, что эти уравнения эквивалентны. Таким образом, сущность второго правила Кирхгофа не зависит от произвольного выбора направления обхода контура.

Рассмотрим контур АСDА. Выберем за положительное направление обхода этого контура направление против часовой стрелки. Применяя второе правило Кирхгофа, получим:

 

.

(2)

Система уравнений (1 – 2) является замкнутой. Задача физически решена. Решая полученную систему уравнений, находим:

I1 = – A, I2= –  A, I3 =  A.

Токи I1 и I2 получились отрицательными. Это означает, что направления их случайно были выбраны ошибочно. Ток I3 положителен; следовательно, его направление случайно выбрано правильно.

Ответ: I1 = – A, I2 = –  A, I3 =  A.

 

« Пред.

 

След. »